스프링클러 방수량 Q = 80√(10P) 유도

문제

물음 4) 스프링클러설비의 방수압과 방수량 관계식 $Q=80\sqrt{10P}$ (Q: L/min, P: MPa)의 유도과정을 쓰시오. (단, 헤드의 오리피스 내경(d)은 12.7 mm, 방출계수(C)는 0.75이며, 중력가속도(g)는 9.81 m/s², 1 MPa = 10 kgf/cm²으로 가정한다.) (8점)

핵심 키워드

• $Q=CA\sqrt{2gH}$
• 1 MPa = 10 kgf/cm² → 수두 100 m → $H=100P$
• m³/s → L/min: × 60,000

답안

1. 기본식

$$Q=CAV=CA\sqrt{2gH}\quad(\text{m}^3/\text{s})$$

2. 압력을 수두로 환산

1 MPa = 10 kgf/cm² = 100,000 kgf/m²이고 물의 비중량은 1,000 kgf/m³이므로 1 MPa는 수두 100 m에 해당한다.

$$H=100P\ \text{(m)}\quad(P:\ \text{MPa})$$

3. 오리피스 단면적

$$A=\frac{\pi}{4}\times0.0127^2=1.2668\times10^{-4}\ \text{m}^2$$

4. 대입

$$Q=0.75\times1.2668\times10^{-4}\times\sqrt{2\times9.81\times100P}\ \text{(m}^3/\text{s)}$$ $$Q=0.75\times1.2668\times10^{-4}\times44.29\sqrt{P}=4.208\times10^{-3}\sqrt{P}\ \text{(m}^3/\text{s)}$$

5. 단위 변환 (m³/s → L/min, × 60,000)

$$Q=4.208\times10^{-3}\times60{,}000\sqrt{P}=252.5\sqrt{P}\ \text{(L/min)}$$

6. 정리

$$252.5\sqrt{P}\approx80\sqrt{10}\sqrt{P}=80\sqrt{10P}$$

($80\sqrt{10}=252.98$이므로 $Q=80\sqrt{10P}$)

근거

• 토리첼리 정리와 연속방정식으로 오리피스 방출유량 $Q=CA\sqrt{2gH}$.
• $P$ = 0.1 MPa를 넣으면 $Q=80\sqrt{1}=80$ L/min으로, 스프링클러헤드 기준 방수량(0.1 MPa, 80 L/min)과 맞는다.