벤츄리관 유량식 유도와 수은 마노미터 유량 계산

문제

【문제 2】 다음 물음에 답하시오. (단, 계산문제의 경우 답안 작성 시 소수점 넷째자리에서 반올림하여 셋째자리까지 구하시오.) (30점)

물음 1) 벤츄리관에 관한 다음 물음에 답하시오. (15점)

(1) 벤츄리관을 흐르는 유체의 유량을 구하는 식을 유도하시오. (단, 물은 비압축성 유체로 가정하고, 마노미터 내부 수은의 비중(Ss)을 반영하여 식을 유도하시오.) (8점)

(2) (1)에서 유도한 공식을 이용하여 아래 그림과 같은 벤츄리관을 흐르는 물의 유량(m³/s)을 구하시오. (단, 수은의 비중(Ss) = 13.6, 중력가속도(g) = 9.8 m/s², 원주율(π) = 3.14 이다.) (7점)

핵심 키워드

• 연속: $A_1V_1=A_2V_2$
• 마노미터: $P_1-P_2=(S_s-1)\gamma_w R$
• $Q=\dfrac{A_2}{\sqrt{1-(D_2/D_1)^4}}\sqrt{2gR\left(S_s-1\right)}$

답안

(1) 유량식 유도

① 베르누이 방정식 (수평관 $Z_1=Z_2$, 손실 무시)

$$\frac{P_1}{\gamma_w}+\frac{V_1^2}{2g}=\frac{P_2}{\gamma_w}+\frac{V_2^2}{2g} \;\Rightarrow\; \frac{P_1-P_2}{\gamma_w}=\frac{V_2^2-V_1^2}{2g}$$

② 연속방정식

$$A_1V_1=A_2V_2 \;\Rightarrow\; V_1=V_2\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2$$ $$\frac{P_1-P_2}{\gamma_w}=\frac{V_2^2}{2g}\left\{1-\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^4\right\}$$

③ 시차 마노미터 (같은 높이의 수은 경계면에서 압력 평형, $\gamma_s=S_s\gamma_w$)

$$P_1+\gamma_w(x+R)=P_2+\gamma_w x+\gamma_s R \;\Rightarrow\; \frac{P_1-P_2}{\gamma_w}=R\left(S_s-1\right)$$

④ ②와 ③을 같게 놓으면

$$V_2=\frac{1}{\sqrt{1-(D_2/D_1)^4}}\sqrt{2gR\left(S_s-1\right)}$$ $$Q=A_2V_2=\frac{\pi D_2^2}{4\sqrt{1-(D_2/D_1)^4}}\sqrt{2gR\left(S_s-1\right)}$$

(실제 유량은 유량계수 $C$를 곱한다.)

(2) 유량 계산

• $A_2=\dfrac{3.14}{4}\times0.075^2=0.0044156\ \text{m}^2$
• $\sqrt{2\times9.8\times0.2\times(13.6-1)}=\sqrt{49.392}=7.0279\ \text{m/s}$
• $\sqrt{1-(0.075/0.15)^4}=\sqrt{0.9375}=0.96825$

$$Q=\frac{0.0044156\times7.0279}{0.96825}=0.03205\ \text{m}^3/\text{s}$$

답: 0.032 m³/s

근거

• 베르누이 방정식, 연속방정식, 시차 액주계 압력 평형. 목(D2) 유속은 약 7.26 m/s, 입구 유속은 약 1.81 m/s이다.