직사각형 배관망 유량 분배(달시-바이스바흐)

문제

물음 2) 다음 조건의 직사각형 배관망에서 A지점으로 0.68 m³/s의 물이 유입되고, B와 C지점에서 0.2 m³/s, 0.48 m³/s의 유량으로 각각 유출될 경우에 배관 D1, D2, D3에 흐르는 유량(m³/s)을 각각 구하시오. (10점)

〈조건〉

• 관의 내경은 D1 = 0.5 m, D2 = 0.5 m, D3 = 0.4 m, D4 = 0.4 m이다.
• D1, D2 배관의 관마찰계수 λ = 0.025이고, D3, D4 배관의 관마찰계수 λ = 0.03이다.
• 도면에 표시된 화살표는 배관 내 물의 흐름 방향을 나타낸다.
• 관마찰손실 이외의 손실은 무시한다.
• 달시-바이스바흐(Darcy-Weisbach) 방정식을 이용하여 유량을 계산하고, 풀이 과정을 상세하게 서술하시오.

핵심 키워드

• 달시-바이스바흐를 유량으로: $h=\dfrac{8\lambda L}{\pi^2 g D^5}Q^2$ → $h\propto \dfrac{\lambda L}{D^5}Q^2$
• A에서 C까지 두 경로(A-B-C, A-D-C)의 손실수두는 같다
• 연속: $Q_1+Q_3=0.68$, $Q_2=Q_1-0.2$, D4 유량 = $Q_3$

답안

① 연속 조건

• A점: $Q_1+Q_4=0.68$, D4와 D3는 직렬이므로 $Q_4=Q_3$ → $Q_3=0.68-Q_1$
• B점: $Q_2=Q_1-0.2$
• C점 확인: $Q_2+Q_3=(Q_1-0.2)+(0.68-Q_1)=0.48$ ✔

② 달시-바이스바흐 식을 유량으로 표현

$$h=\lambda\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g},\quad V=\frac{4Q}{\pi D^2} \;\Rightarrow\; h=\frac{8}{\pi^2 g}\cdot\frac{\lambda L}{D^5}Q^2=c\,KQ^2$$

배관	λ	L (m)	D (m)	$K=\lambda L/D^5$
D1	0.025	250	0.5	200
D2	0.025	300	0.5	240
D3	0.03	250	0.4	732.42
D4	0.03	300	0.4	878.91

③ 두 경로 손실수두가 같다 (공통 상수 $c=8/\pi^2 g$는 소거)

$$200Q_1^2+240(Q_1-0.2)^2=(732.42+878.91)(0.68-Q_1)^2$$

정리하면

$$1171.33\,Q_1^2-2095.41\,Q_1+735.48=0$$ $$Q_1=\frac{2095.41-\sqrt{2095.41^2-4\times1171.33\times735.48}}{2\times1171.33}=0.4795$$

(다른 해 1.309는 유입량 0.68보다 커서 버린다.)

④ 유량

• $Q_1$ (D1): 0.480 m³/s
• $Q_2$ (D2) $=0.4795-0.2=$ 0.280 m³/s
• $Q_3$ (D3) $=0.68-0.4795=$ 0.200 m³/s

검산: $200(0.4795)^2+240(0.2795)^2=64.75$, $1611.33(0.2005)^2=64.75$ → 두 경로 손실수두 같음.

근거

• 달시-바이스바흐 방정식 $h_L=\lambda\dfrac{L}{D}\dfrac{V^2}{2g}$. 하나의 폐회로에서 시계방향·반시계방향 손실수두의 합은 0(같은 두 지점 사이 경로별 손실수두가 같음)이라는 조건은 하디-크로스(Hardy Cross) 방법의 기본 원리와 같다.