토리첼리 정리 방출유량·수조 배수시간 유도

문제

【문제 2】 다음 물음에 답하시오. (30점)

물음 1) 다음 그림을 보고 물음에 답하시오. (단, 계산값은 소수점 셋째자리에서 반올림하여 소수점 둘째자리까지 구한다.) (14점)

• A: 수면의 면적, D: 방출구의 직경, 최고 유효수면과 최저 유효수면의 거리: 4 m

(1) (가)에서 대기 중으로 방출되는 물의 최대유량(L/min)을 계산하시오. (단, 유량계수 및 배관계통의 마찰손실은 무시한다.) (4점)

(2) 수조에서 물을 배수하고자 할 때 사용되는 배수시간 산출 공식을 연속방정식과 토리첼리의 정리를 이용하여 유도하시오. (6점)

(3) 위 (2)의 공식에 따라 (가)에서 수조의 최고 유효수면부터 최저 유효수면까지 배수하는데 걸리는 최소 시간 t(s)를 계산하시오. (4점)

핵심 키워드

• 토리첼리: $v=\sqrt{2gh}$ — 수위가 가장 높을 때 유량 최대
• 수위 감소율 × 수면적 = 유출량: $-A\,\dfrac{dh}{dt}=a\sqrt{2gh}$
• $t=\dfrac{2A}{a\sqrt{2g}}\left(\sqrt{H_1}-\sqrt{H_2}\right)$

답안

(1) 최대유량

• $v=\sqrt{2\times9.8\times4}=8.854\ \text{m/s}$
• $a=\dfrac{\pi}{4}\times0.1^2=0.007854\ \text{m}^2$
• $Q=a\,v=0.06954\ \text{m}^3/\text{s}$

답: 4,172.53 L/min

(2) 배수시간 공식 유도

① 수위가 $h$일 때 방출구 유속(토리첼리): $v=\sqrt{2gh}$

② 연속방정식: 수조 수위가 $dt$ 동안 $dh$만큼 내려갈 때 줄어든 물의 부피 = 방출된 부피

$$-A\,dh=a\sqrt{2gh}\,dt$$

③ 변수 분리 후 수위 $H_1$에서 $H_2$까지 적분

$$dt=-\frac{A}{a\sqrt{2g}}\,h^{-1/2}\,dh \;\Rightarrow\; t=\frac{A}{a\sqrt{2g}}\int_{H_2}^{H_1}h^{-1/2}\,dh$$ $$t=\frac{2A}{a\sqrt{2g}}\left(\sqrt{H_1}-\sqrt{H_2}\right)$$

(완전 배수, $H_2=0$이면 $t=\dfrac{2A\sqrt{H}}{a\sqrt{2g}}=\dfrac{A}{a}\sqrt{\dfrac{2H}{g}}$)

(3) 배수 최소 시간

$$t=\frac{2\times10}{0.007854\times\sqrt{2\times9.8}}\times\left(\sqrt{4}-0\right)=1{,}150.38\ \text{s}$$

답: 1,150.38 s (약 19.2분)

근거

• 토리첼리 정리(베르누이 방정식에서 수면 유속 무시, 대기압 개방). 유량계수를 무시하라고 했으므로 이론값이다.